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\hypersetup{%
  pdftitle={Notas sobre Control por computador, de Hilario Lopez},%
  % Note /XYZ takes three arguments, the X and Y offsets and the
  % zoom factor. Omitting these values breaks Distiller.
  pdfstartview={%
    XYZ \hypercalcbp{1in+\oddsidemargin-2mm} %
        \hypercalcbp{\paperheight-1in-\topmargin
            -\headheight-\headsep+2mm} %
        1%
  }%
}

% The numbering of the equations is done by the \tag command
% explicitly. Problematic is the equation environment, because
% it generates also an anchor named "equation.1". This would
% produce a lot of warnings. Changing equation to gather
% supresses the warnings. The links should work in both
% cases.
\let\equation\gather
\let\endequation\endgather

\newcommand{\fdt}{\hbox{f.d.t.\@}}

\newcommand{\pagina}[1]{\textsl{{\tiny \mbox{[#1]}}}}% << la del fichero grainger-stevenson.tex
\newcommand{\ingles}[1]{\emph{#1}}


\newcommand{\ojo}[1]{ }
%
% Crear una caja de texto con borde para destacar ciertos párrafos
%
\newcommand{\destacaP}[1]{ }


%
\begin{document}

\section{Diseño mediante síntesis directa}
Se calculan reguladores por el método de Truxal.
\begin{itemize}
  \item Si el proceso tiene un tiempo muerto $d$, el sistema en cadena cerrada no puede
  tener un valor menor.
\begin{equation}\label{eq:SintesisDirectaGradosEnBucleCerrado}
  gr[L(z)] -gr[N(z)] \ge gr[A(z)]-gr[B(z)] \tag{2.14}
\end{equation}
  \item Se obtendrá el mismo tiempo muerto  $d$, salvo que en el regulador $G_R$ se
  introduzca un nuevo retardo por tener más ceros que polos.
  \item Los polos y ceros del proceso externos a la circunferencia unidad no se deben
  cancelar con los ceros y polos del regulador, por lo que dichos factores no pueden
  aparecer en $G_R(z)$.
  \item Asignación de polos (del sistema en cadena cerrada).
  Permite especificar (en parte\footnote{Es debido a que los ceros que resulten del regulador
  pueden modificar la dinámica que hemos calculado mediante los polos. Habrá que comprobar que
  su efecto es despreciable, que implica que los ceros deben ser poco significativos
  en comparación con las raíces de $z^2+ \alpha \, z + \beta = 0$} (interesa por tanto que
  estén alejados de la circunferencia unidad).) la respuesta transitoria, a
  través de un sistema de segundo orden, y poniendo el resto de los polos en $z=0$.
  \item Tiempo finito. Todos sus polos están en el origen. Se caracterizan porque alcanzan
  el valor final de la respuesta ante una entrada dada en un tiempo finito,
  \textsc{sin oscilar la secuencia discreta}. En el caso de control en tiempo real, el
  sistema continuo si oscilaría ligeramente. Se refiere a que aunque en los instantes de
  muestreo los valores sean los dados por el sistema discreto, el sistema continuo
  asociado podría tomar valores distintos entre los instantes de muestreo.
  \item Tiempo mínimo. Como los de tiempo finito, pero realizando \textsc{todas}
  las cancelaciones \textsc{posibles} (no se consideran posibles las de polos y ceros externos).
  \item Respuesta en permanente. Si se desea obtener error de posición nulo y el proceso
  no posee un polo en $z=1$, entonces el regulador debe incluir un polo (por lo menos) en
  dicho punto. También es necesario esto para eliminar el efecto sobre el permanente de
  las perturbaciones deterministas.
  \item Simplicidad. Interesa que el número de polos y ceros del regulador sea mínimo.
  Esta propiedad es opuesta a la minimización de $m$ (para obtener un sistema de tiempo mínimo).
\end{itemize}
\subsection{Métodos de cálculo}
\subsubsection{Método de asignación de polos} El transitorio puede venir especificado por
$M_p$, $n_p$, y $n_s$. Las fórmulas aplicables son
\begin{align}\label{eq:AsignacionPolosFormulasParametrosTransitorio}
 n_p &= \frac{\pi}{\theta}        \tag{2.27} \\
 M_p &= |p|^{n_p}                 \tag{2.28} \\
 n_s &=  \frac{\pi}{\sigma}       \tag{2.29} \\
 |p| &= e^{-\sigma}               \tag{2.30}
\end{align}
La ecuación característica para realimentación unitaria ($H=1$) es
\begin{equation}\label{eq:AsignacionPolosEcuacionCaracteristica}
  1 + G_R(z) \, BG(z) = 0 \tag{2.32}
\end{equation}
o sea
\begin{equation}\label{eq:AsignacionPolosEcuacionCaracteristicaFactorizada}
  1 + \frac{Q(z)}{P(z)} \, \frac{B(z)}{A(z)}  = 0 \tag{2.33}
\end{equation}
en la que se observa que puede haber factores que se anulen entre numerador de $G_R$ y
denominador de $G_P$, y viceversa. Operando, resultaría que
\begin{equation}\label{eq:AsignacionPolosEcuacionCaracteristicaNumerador}
 A(z) \, P(z) + B(z) \, Q(z)  = 0 \tag{2.34}
\end{equation}
%
Debe hacerse notar que si en la ec.
(\ref{eq:AsignacionPolosEcuacionCaracteristicaFactorizada}) se hubiesen anulado factores
entre numerador y denominador, la ecuación
(\ref{eq:AsignacionPolosEcuacionCaracteristicaNumerador}) una vez simplificada sería del
estilo
\begin{equation}\label{eq:AsignacionPolosEcuacionCaracteristicaNumeradorSimplificada}
 A'(z) \, P'(z) + B'(z) \, Q'(z)  = 0 \tag{2.34-bis}
\end{equation}
en la que  $A'(z)$ sería los polos de $A(z)$ que no se cancelan, $B'(z)$ los ceros del
proceso no cancelados (y que por tanto aparecerán en la \fdt de cadena cerrada), y $P'(z)$
y $Q'(z)$ los polinomios que necesitamos calcular. El factor $Q'(z)$ no se deja como tal,
sino que se pone en función del polinomio $N(z)$, que es el numerador de la \fdt de cadena
cerrada. Para ello se hace uso de la propiedad que dice que los ceros en cadena cerrada
son los del sistema más los del regulador (a menos que se hayan cancelado ceros del
proceso con polos del regulador).
%
La ecuación que debemos plantear para hallar los coeficientes del regulador es
\begin{equation}\label{eq:AsignacionPolosIdentificacionCoeficientes}
  z^m (z^2+ \alpha \, z + \beta) = A(z) \, P(z) + B(z) \, Q(z) \tag{2.35}
\end{equation}
%
La solución es única cuando se tengan tantas ecuaciones como incógnitas. Igualando grados,
se tiene que
\begin{equation}\label{eq:AsignacionPolosGradosPolinomios}
 m+2 = p+a \tag{2.36}
\end{equation}
y al aplicar la condición (\ref{eq:SintesisDirectaGradosEnBucleCerrado}) a la ecuación
(\ref{eq:AsignacionPolosIdentificacionCoeficientes}) resulta
\begin{equation}\label{AsignacionPolosCondicionGradosBucleCerrado}
  (m+2)-n \ge a-b \tag{2.38}
\end{equation}
\subsubsection{Método de tiempo finito}
Todos los polos de cadena cerrada están en el origen ($z=0$). En dichos sistemas, la
respuesta impulsional se puede obtener fácilmente como la secuencia formada por los
coeficientes de $\{b_0, b_1, b_2, \ldots \}$, que es la que resulta de multiplicar la \fdt
por $z^{-m}$, siendo $m$ en número de polos en cadena cerrada (todos en el origen). La
respuesta ante escalón se puede conseguir como suma de la secuencia impulsional:  $\{b_0,
b_0+b_1, b_0+b_1+b_2, \ldots \}$.
\ojo{Para los reguladores de tiempo finito, el número de muestras en el origen (valor
cero) coincide con el tiempo muerto, mientras que el número de muestras del transitorio
coincide con el número de ceros. Revisar\pagina{H26} ¿Por que se consideran tres muestras
de transitorio, y no se cuenta la del origen ni la que marca el fin del transitorio, si en
un sistema continuo se contaría todo el tiempo?}
\subsubsection{Método de tiempo mínimo}
Se cancelan todos los polos y ceros de $BG(z)$ interiores a la circunferencia unidad.
\subsection{Mejora del régimen permanente}
Para evitar errores en permanente, puede interesar poner una serie de polos en $z=1$, lo
que se traduce en que en el denominador del regulador habrá un factor $(z-1)^i$, siendo
$G_R$, por tanto, de la forma
\begin{equation}\label{SintesisDirectaPolosEnZIgualAUno}
 G_R = \frac{Q(z)}{(z-1)^i \, P(z)} \tag{2.29}
\end{equation}
\subsection{Mejora del régimen transitorio}
Pueden conseguirse respuestas menos bruscas (menor sobreoscilación, etc.) dando más tiempo
para que el sistema se estabilice, lo cual puede conseguirse aumentando $m$ en una unidad,
mientras se mantiene fijo $T_m$, por lo que tendremos un grado de libertad. Otra
posibilidad es poner un filtro entre la señal de consigna y la entrada al bucle de
realimentación, de forma que éste perciba una variación más lenta de la señal de consigna
\pagina{28}.
\subsection{Notas acerca de los problemas propuestos}
\begin{itemize}
  \item Son interesantes los ejemplos para ver como se aplican en la práctica las
  ecuaciones del estilo a la (\ref{eq:AsignacionPolosIdentificacionCoeficientes}), sobre
  todo al cálculo de los valores del grado $n$ y a la aplicación correcta de la
  ecuación (\ref{AsignacionPolosCondicionGradosBucleCerrado}).
  \item Al incluir integrador en el regulador, la sobreoscilación tiende a aumentar\pagina{40}.
  \item Se indica un ejemplo donde se permite incrementar $m$ para obtener el grado de
  libertad que nos permita obtener menor sobreoscilación. También se hace uso del
  ``truco'' de poner el denominador $z^m$ en la forma $((z-1) + 1)^m$, por lo que haciendo
  el desarrollo del binomio de Newton, nos permite poner la \fdt de cadena cerrada como
  factores de $(z-1)^k$ en vez de $z^k$, lo que permite simplificar a la hora de igualar
  coeficientes, a la vez que garantizamos que no habrá error en permanente, ya que $M(1) =
  1$.
  Hay que andarse con ojo si el factor $K$ que multiplica al proceso no es 1 (estando dicho
  proceso expresado en la forma de factores $K \cdot \prod (z-c_i)/\prod (z-p_j)$).
  En ese caso\pagina{45}, el factor $K$ aparecería multiplicando al cociente de polinomios
  que definen $M(z)$ y el coeficiente $n_0$ no sería 1, sino $1/K$. Un ejemplo de este
  caso, si se intenta resolver de esta forma, está en el examen del $1^{\textrm{er}}$ parcial
  del 25 de Marzo de 1999.
\end{itemize}
\ojo{¿Es cierto que si no se cancelan ceros del proceso, entonces se tiene que la señal de
control $u(k)$ también presenta un comportamiento de tiempo finito? ¿De dónde se deduce
dicha propiedad?}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Algoritmos de diseño (I)}
\subsection{Algoritmos de tiempo finito (reguladores de Isermann)}
\begin{itemize}
  \item La función de transferencia en cadena cerrada no es preespecificada, sino que
  viene determinada como resultado del diseño. Todos los polos estarán en el origen.
  \item No se cancela ningún cero, pero sí todos los polos.
  \item Se incluye integrador, que anula el error en permanente
  \item Son muy sencillos de calcular.
\end{itemize}
\subsection{Regulador de tiempo finito de orden normal}
La señal de control $u$ estará estabilizada tras $m$ periodos de muestreo, y la de salida
$y$ tras $m+d$, siendo $d$ el tiempo muerto del proceso.
\subsubsection{Para procesos con tiempo muerto %
  \texorpdfstring{$d=0$}{d=0}}
Los coeficientes resultantes para el
regulador son:
\begin{equation}\label{eq:IsermannTiempoFinitoOrdenNormalCoeficientesQCero}
  q_0 = \frac{1}{\sum b_i}  \tag{3.20a}
\end{equation}
%
\begin{equation}\label{eq:IsermannTiempoFinitoOrdenNormalCoeficientesQi}
  q_i = q_0 \, a_i, \quad i=1,\ldots,m
        \quad \textrm{(además $\sum q_i = u(m)$, por (3.12, H53))}\tag{3.20b}
\end{equation}
%
\begin{equation}\label{eq:IsermannTiempoFinitoOrdenNormalCoeficientesPi}
  p_i = q_0 \, b_i, \quad i=1,\ldots,m
       \quad \textrm{(además $\sum p_i = 1$, por (3.11))}\tag{3.20c}
\end{equation}
%
El regulador resultante ($d=0$) es
\begin{equation}\label{eq:IsermannTiempoFinitoOrdenNormalSinTiempoMuerto}
  G_R = \frac{Q(z^{-1}))}{1-P(z^{-1}))} =
  \frac{q_0 \, A(z^{-1})}{1-q_0 \, B(z^{-1})} \tag{3.21}
\end{equation}
El primer valor de la acción de control es
\begin{equation}\label{eq:IsermannTiempoFinitoOrdenNormalUCero}
  u(0) = q_0 = \frac{1}{\sum b_i} \tag{3.22}
\end{equation}


\end{document}

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| Oscar Fernandez Sierra                                                     |
| Escuela Tecnica Superior de Ingenieros Industriales de Gijon               |
| Departamento de Construccion e Ingenieria de Fabricacion                   |
| Campus de Viesques 33204 - Gijon (Spain)                                   |
|                                                                            |
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